n-арная метрика

[levgilman]

(тут всё очень небрежно, возможны ошибки)

Если метрику сопоставить с длиной отрезка между точками, то нельзя ли задать n-арный оператор, аналогичным образом соответствующий объёму симплекса с заданными вершинами?

Коммутативность воспроизводится тривиально, правило треугольника - технически геморройно, но понятно, а вот условия обнуления..

ЧтО если в определении обычной метрики уберём необходимое условие обнуления, а вместо этого введём:

(forall(a,b))

    (          

          (forall(c)) d(a,c)=d(b,c)

    )  -> a=b

Если d(a,b)=0, то по правилу треугольника получим (forall(c)) d(a,c)=d(b,c) (это строка из вышеприведённого), и отсюда a=b, то есть необходимое условие обнуления выводится из вышеприведённого, и набор аксиом получается не слабее обычного.

В обратном направлении - данная аксиома выводится из необходимого условия обнуления тривиальной подстановкой:

d(a,b)=0 -> a=b -> d(a,c)=d(b,c)

Итак, получаем определение, эквивалентное обычному.

Новая аксиома легко расширяется на n-арный случай. А вот достаточное условие обнуления - думаю, можно перенести тривиально - как совпадение любых двух операндов, оно теряет былую красоту: теряет симметрию и перестаёт быть необходимым условием обнуления, но, думаю, "с этим можно жить".